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Diferencias finitas en dominios infinitos

Diferencias finitas en dominios infinitos

Gracias a mi amigo, Edward Villegas, terminé pensando acerca del uso de cambio de variables en la solución de problemas de valores propios con diferencias finitas.

El problema

Digamos que queremos resolver una ecuación diferencias sobre un dominio infinito. Un caso común es la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo sujeta a un potencial \(V(x)\). Por ejemplo

\begin{equation*} -\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\psi(x) + V(x) \psi(x) = E\psi(x),\quad \forall x\in (-\infty, \infty), \end{equation*}

en donde queremos encontrar las parejas de valores/funciones propias \((E_n, \psi_n(x))\).

Lo que normalmente hago cuando uso diferencias finitas es dividir el dominio regularmente. Donde tomo un dominio lo suficientemente grande, para que la solución haya decaído a cero. Lo que hago en esta publicación es usar un cambio de variable para convertir el intervalo a uno finito y luego dividir el dominio transformado regularmente en intervalos finitos.

Mi enfoque usual

Mi enfoque usual es aproximar la segunda derivada con una diferencia centrada para el punto \(x_i\), de la siguiente manera

\begin{equation*} \frac{\mathrm{d}^2 f(x)}{\mathrm{d}x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x) - 2 f(x_i) + f(x - \Delta x)}{\Delta x^2}\, , \end{equation*}

con \(\Delta x\) la separación entre puntos consecutivos.

Podemos solucionar este problem en Python con el siguiente bloque de código:

import numpy as np
from scipy.sparse import diags
from scipy.sparse.linalg import eigs


def regular_FD(pot, npts=101, x_max=10, nvals=6):
    """
    Find eigenvalues/eigenfunctions for Schrodinger
    equation for the given potential `pot` using
    finite differences
    """
    x = np.linspace(-x_max, x_max, npts)
    dx = x[1] - x[0]
    D2 = diags([1, -2, 1], [-1, 0, 1], shape=(npts, npts))/dx**2
    V = diags(pot(x))
    H = -0.5*D2 + V
    vals, vecs = eigs(H, k=nvals, which="SM")
    return x, np.real(vals), vecs

Configuremos los gráficos con el siguiente bloque de código.

# Jupyter notebook plotting setup & imports
%matplotlib notebook
import matplotlib.pyplot as plt

gray = '#757575'
plt.rcParams["figure.figsize"] = 6, 4
plt.rcParams["mathtext.fontset"] = "cm"
plt.rcParams["text.color"] = gray
fontsize = plt.rcParams["font.size"] = 12
plt.rcParams["xtick.color"] = gray
plt.rcParams["ytick.color"] = gray
plt.rcParams["axes.labelcolor"] = gray
plt.rcParams["axes.edgecolor"] = gray
plt.rcParams["axes.spines.right"] = False
plt.rcParams["axes.spines.top"] = False

Consideremos el oscilador armónico cuántico, que tiene como valores propios

\begin{equation*} E_n = n + \frac{1}{2},\quad \forall n = 0, 1, 2 \cdots \end{equation*}

Usando el método de diferencias finitas obtenemos valores que están muy cerca de los analíticos.

x, vals, vecs = regular_FD(lambda x: 0.5*x**2, npts=201)
vals

Con respuesta

array([0.4996873 , 1.49843574, 2.49593063, 3.49216962, 4.48715031,
       5.4808703 ])

Los valores analíticos son los siguientes

[0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5])

Si graficamos estos dos conjuntos, obtenemos lo siguiente.

plt.figure()
plt.plot(anal_vals)
plt.plot(vals, "o")
plt.xlabel(r"$n$", fontsize=16)
plt.ylabel(r"$E_n$", fontsize=16)
plt.legend(["Analytic", "Finite differences"])
plt.tight_layout();
Valores propios para la diferencia finita regular.

Veamos las funciones propias

plt.figure()
plt.plot(x, np.abs(vecs[:, :3])**2)
plt.xlim(-6, 6)
plt.xlabel(r"$x$", fontsize=16)
plt.ylabel(r"$|\psi_n(x)|^2$", fontsize=16)
plt.yticks([])
plt.tight_layout();
Funciones propias para la diferencia finita regular.

Un inconveniente con este método es el muestreo redundante hacia los extremos del intervalo mientras submuestreamos el centro.

Transformando el dominio

Ahora, consideremos el caso en el que transormamos el dominio infinito a uno finito usando un cambio de variable

\begin{equation*} \xi = \xi(x) \end{equation*}

con \(\xi \in (-1, 1)\). Dos opciones para esta transformación son:

  • \(\xi = \tanh x\); y
  • \(\xi = \frac{2}{\pi} \arctan x\).

Haciendo este cambio de variable la ecuación, debemos resolver la siguiente ecuación

\begin{equation*} -\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}x}\right)^2\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\xi^2}\psi(\xi) - \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}^2\xi}{\mathrm{d}x^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\psi(\xi) + V(\xi) \psi(\xi) = E\psi(\xi) \end{equation*}

El siguiente bloque de código resuelve el problema de valores propios en el dominio transformado:

def mapped_FD(pot, fun, dxdxi, dxdxi2, npts=101, nvals=6, xi_tol=1e-6):
    """
    Find eigenvalues/eigenfunctions for Schrodinger
    equation for the given potential `pot` using
    finite differences over a mapped domain on (-1, 1)
    """
    xi = np.linspace(-1 + xi_tol, 1 - xi_tol, npts)
    x = fun(xi)
    dxi = xi[1] - xi[0]
    D2 = diags([1, -2, 1], [-1, 0, 1], shape=(npts, npts))/dxi**2
    D1 = 0.5*diags([-1, 1], [-1, 1], shape=(npts, npts))/dxi
    V = diags(pot(x))
    fac1 = diags(dxdxi(xi)**2)
    fac2 = diags(dxdxi2(xi))
    H = -0.5*fac1.dot(D2) - 0.5*fac2.dot(D1) + V
    vals, vecs = eigs(H, k=nvals, which="SM")
    return x, np.real(vals), vecs

Primera transformación: \(\xi = \tanh(x)\)

Consideremos la primera transformación

\begin{equation*} \xi = \tanh(x)\, . \end{equation*}

En este caso,

\begin{equation*} \frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}x} = 1 - \tanh^2(x) = 1 - \xi^2\, , \end{equation*}

y

\begin{equation*} \frac{\mathrm{d}^2\xi}{\mathrm{d}x^2} = -2\tanh(x)[1 - \tanh^2(x)] = -2\xi[1 - \xi^2]\, . \end{equation*}

Necesitamos definir las funciones

pot = lambda x: 0.5*x**2
fun = lambda xi: np.arctanh(xi)
dxdxi = lambda xi: 1 - xi**2
dxdxi2 = lambda xi: -2*xi*(1 - xi**2)

y correr

x, vals, vecs = mapped_FD(pot, fun, dxdxi, dxdxi2, npts=201)
vals

Y obtenemos los siguientes valores propios

array([0.49989989, 1.4984226 , 2.49003572, 3.46934257, 4.46935021,
       5.59552989])

Si los comparamos con los valores analítivos obtenemos lo siguiente.

plt.figure()
plt.plot(anal_vals)
plt.plot(vals, "o")
plt.legend(["Analytic", "Finite differences"])
plt.xlabel(r"$n$", fontsize=16)
plt.ylabel(r"$E_n$", fontsize=16)
plt.tight_layout();
Valores propios para la primera transormación.

Y las siguientes funciones propias.

plt.figure()
plt.plot(x, np.abs(vecs[:, :3])**2)
plt.xlim(-6, 6)
plt.xlabel(r"$x$", fontsize=16)
plt.ylabel(r"$|\psi_n(x)|^2$", fontsize=16)
plt.yticks([])
plt.tight_layout();
Funciones propias para la primera transformación.

Segunda transformación: \(\xi = \frac{2}{\pi}\mathrm{atan}(x)\)

Consideremos ahora la segunda transformación

\begin{equation*} \xi = \frac{2}{\pi}\mathrm{atan}(x)\, . \end{equation*}

En este caso,

\begin{equation*} \frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}x} = \frac{2}{\pi(1 + x^2)} = \frac{2 \cos^2\xi}{\pi} \, , \end{equation*}

y

\begin{equation*} \frac{\mathrm{d}^2\xi}{\mathrm{d}x^2} = -\frac{4x}{\pi(1 + x^2)^2} = -\frac{4 \cos^4\xi \tan \xi}{\pi}\, . \end{equation*}

Una vez más, definimos las funciones

pot = lambda x: 0.5*x**2
fun = lambda xi: np.tan(0.5*np.pi*xi)
dxdxi = lambda xi: 2/np.pi * np.cos(0.5*np.pi*xi)**2
dxdxi2 = lambda xi: -4/np.pi * np.cos(0.5*np.pi*xi)**4 * np.tan(0.5*np.pi*xi)

y ejecutamos

x, vals, vecs = mapped_FD(pot, fun, dxdxi, dxdxi2, npts=201)
vals

para obtener los siguientes valores propios

array([0.49997815, 1.49979632, 2.49930872, 3.49824697, 4.49627555,
       5.49295665])

con la siguiente gráfica

plt.figure()
plt.plot(anal_vals)
plt.plot(vals, "o")
plt.legend(["Analytic", "Finite differences"])
plt.xlabel(r"$n$", fontsize=16)
plt.ylabel(r"$E_n$", fontsize=16)
plt.tight_layout();
Valores propios para la segunda transformación.

y las siguientes funciones propias.

plt.figure()
plt.plot(x, np.abs(vecs[:, :3])**2)
plt.xlabel(r"$x$", fontsize=16)
plt.ylabel(r"$|\psi|^2$", fontsize=16)
plt.xlim(-6, 6)
plt.xlabel(r"$x$", fontsize=16)
plt.ylabel(r"$|\psi_n(x)|^2$", fontsize=16)
plt.yticks([])
plt.tight_layout();
Funciones propias para la segunda transformación.

Conclusión

El método funciona bien, aunque la ecuación diferencial es más complicada por el cambio de variable. Aunque existen métodos más elegantes para considerar dominiso infinitos, este es lo suficientemente simple para hacerse en 10 líneas de código.

Podemos ver que la transforamción \(\xi = \mathrm{atan}(x)\), cubre mejor el dominio que \(\xi = \tanh(x)\), donde la mayoría de los puntos están ubicados en el centro del intervalo.

¡Gracias por leer!

Esta publicación se escribió en el Jupyter notebook. Puedes descargar este notebook, o ver una versión estática en nbviewer.

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