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Nicolás' blog

Reto de métodos numéricos: Día 20

Nicolás Guarín-Zapata

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Durante octubre (2017) estaré escribiendo un programa por día para algunos métodos numéricos famosos en Python y Julia. Esto está pensado como un ejercicio, no esperen que el código sea lo suficientemente bueno para usarse en la "vida real". Además, también debo mencionar que casi que no tengo experiencia con Julia, así que probablemente no escriba un Julia idiomático y se parezca más a Python.

Método del disparo

Hoy tenemos el método del disparo. Este es un método para resolver problemas de valores en la frontera convirtiéndolos en una sucesión de problemas de valores iniciales.

A grandes rasgos, para una ecuación de segundo orden tenemos

\begin{equation*} y''(x) = f(x, y(x), y'(x)),\quad y(x_0) = y_0,\quad y(x_1) = y_1\, , \end{equation*}

y resolvemos la sucesión de problemas and we solve the sequence of problems

\begin{equation*} y''(x) = f(x, y(x), y'(x)),\quad y(x_0) = y_0,\quad y'(x_0) = a \end{equation*}

hasta que la función \(F(a) = y(x_1; a) - y_1\) tenga una raíz.

Vamos a probar este método con el problema de valores en la frontera

\begin{equation*} y''(x) = \frac{3}{2} y^2,\quad w(0) = 4,\quad w(1) = 1\, . \end{equation*}

A continuación se presenta el código.

Python

from __future__ import division, print_function
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import newton
from scipy.integrate import odeint


def shooting(dydx, x, x0, xf, shoot=None):
    if shoot is None:
        shoot = np.random.uniform(-20, 20)
    F = lambda s, x0, xf, x: odeint(dydx, [x0, s], x)[-1, 0] - xf
    shoot = newton(F, shoot, args=(x0, xf, x))
    y = odeint(dydx, [x0, shoot], x)
    return y[:, 0], shoot


func = lambda y, t: [y[1], 1.5*y[0]**2]
x = np.linspace(0, 1, 1000)
y, shoot = shooting(func, x, 4, 1, shoot=-5)
plt.plot(x, y)
plt.xlabel(r"$x$")
plt.ylabel(r"$y$")
plt.show()

Julia

using PyPlot, DifferentialEquations, Roots


function shooting(dydx, x, y0, yf; shoot=nothing)
    if shoot == nothing
        shoot = rand(-20:0.1:20)
    end
    function F(s)
        prob = ODEProblem(dydx, [y0, s], (x[1], x[end]))
        sol = solve(prob)
        return sol(x[end])[1] - yf
    end
    shoot = fzero(F, shoot)
    prob = ODEProblem(dydx, [y0, shoot], (x[1], x[end]))
    sol = solve(prob, solveat=x)
    return sol(x)[1, :], shoot
end


func(x, y) = [y[2], 1.5*y[1]^2]
x = linspace(0, 1, 1000)
y, shoot = shooting(func, x , 4.0, 1.0, shoot=-5.0)
plot(x, y)

En ambos casos el resultado es el siguiente gráfico, y la pendiente es -7.9999999657800833.

Solución de la ecuación diferencial que satisface las condiciones de frontera.

Debemos mentionar que la convergencia del método depende de la selección de la aproximación inicial. Por ejemplo, si escogemos como parámetro inicial -50 en el problema anterior, obtenemos una solución completamente diferente.

y, shoot = shooting(func, x , 4.0, 1.0, shoot=-50.0)
Solución de la ecuación diferencial que satisface las condiciones de frontera.

Y la pendiente que se obtiene es -35.858547970130971.

Comparación Python/Julia

Respecto al número de líneas tenemos: 20 en Python y 23 en Julia. La comparación en tiempo de ejecución se realizó con el comando mágico de IPython %timeit y con @benchmark en Julia.

Para Python:

%timeit shooting(func, x, 4, 1, shoot=-5)

con resultado

100 loops, best of 3: 1.9 ms per loop

Para Julia:

@benchmark shooting(func, x, 4.0, 1.0, shoot=-5.0)

con resultado

BenchmarkTools.Trial:
  memory estimate:  4.18 MiB
  allocs estimate:  78552
  --------------
  minimum time:     10.065 ms (0.00% GC)
  median time:      10.593 ms (0.00% GC)
  mean time:        11.769 ms (9.28% GC)
  maximum time:     22.252 ms (48.58% GC)
  --------------
  samples:          425
  evals/sample:     1

En este caso, podemos decir que el código de Python es alrededor de 5 veces más rápido que el de Julia. Sin embargo, el código es más diferente que en los otros retos. Por ejemplo, no estoy usando newton en Julia.

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